重新复习了下矩阵和向量的知识。

1 矩阵

例如我们有这么一个矩阵：

矩阵

可以看到，这是一个 4 × 2 的矩阵。

那么我们怎么得到其中的数据呢？

对于这样的矩阵，有两个下标，分别是i和j。其中i代表着行，j代表着列。那么Aij就可以指向对应行和列的数据。

如果索引从1开始，那就是：

A21 = 110
A31 = 50
A42 = 120

如果索引从0开始，那么就是：

A10 = 110
A20 = 50
A31 = 120

向量是一种特殊的矩阵，它只有一列，例如：

向量

和矩阵类似，对于向量的调用，直接使用vi即可。

如果索引从1开始，那就是：

v2 = 110
v3 = 50

如果索引从0开始，那就是：

v1 = 110
v2 = 50

2 运算

对于矩阵的运算，具体是怎么样的呢？

2.1 加减法运算

加法运算：

矩阵加法

例如：

矩阵加法例子

颜色相同的方框数字进行相加，例如这里： 8 + 3 = 11，6 + 10 = 16

减法运算：

矩阵减法

需要注意的是，进行加减运算的两个矩阵维度必须是相同的。

2.2 矩阵乘以标量

矩阵乘以标量：

矩阵乘以标量

所谓的标量，其实就是指具体的常数。

例如：

矩阵乘以标量例子

标量和矩阵中每一个数字相乘，这里是： 4 × 2 = 8，5 × 2 = 10

矩阵除以标量：

矩阵除以标量

如果是除法的话，可以看成乘以它的倒数。

我们看一下稍微复杂点的运算：

在这里： 4 ÷ 2 - 3 × 2 = -4

2.3 矩阵相乘

矩阵乘以向量：

矩阵乘以向量

矩阵A是一个 4 × 2 的矩阵，向量B是一个 2 × 1 的矩阵，矩阵A乘以向量B，得到的结果向量C是一个 4 × 1 的矩阵。

计算的方式如下：

矩阵A的每一行中的数字，都和向量B对应中的数字相乘，加总后的结果落在向量C上，行对应的就是矩阵A对应行号：

1 × 1 + 2 × 3 = 7
0 × 1 + 3 × 3 = 9
-1 × 1 + (-2) × 3 = -7
1 × 1 + 5 × 3 = 16

需要注意的是，左边矩阵的列数，要和右边矩阵的行数相同。

矩阵乘以矩阵：

矩阵乘以矩阵

矩阵乘以矩阵可以看做矩阵乘以多个向量，当然，也同样要遵守一个规则：左边矩阵的列数，要和右边矩阵的行数相同。

最终得到的结果矩阵C，行数是矩阵A的行数，列数是矩阵B的列数。例如下面两个矩阵相乘：

计算的方式如下：

所以计算的过程如下：

1 × 1 + 3 × 2 = 7 ， 1 × 0 + 3 × 3 = 9
2 × 1 + 4 × 2 = 10 ， 2 × 0 + 4 × 3 = 12
0 × 1 + 5 × 2 = 10 ， 0 × 0 + 5 × 3 = 15

3 应用

又是列公式，又是写演算过程的，到底这个东西，有什么用？

不知道你有没有发现，矩阵的相乘，是一种打包的运算。一次运算，就能得到我们想要的结果。

还记得我们之前那个预测函数吧：hθ(x) = θ0 + θ1x

对于房价数据：

我们有预测函数hθ(x) = -40 + 2x

那么我们可以构建一个矩阵和向量：

为了方便演示，对于房价面积，这里仅仅使用了前4行数据。

这样，经过一次计算，就能够得到所有的预测结果。

如果我们有多个预测函数：

1.hθ(x) = -40 + 2x
2.hθ(x) = 200 + 0.1x
3.hθ(x) = -150 + 4x

也是类似：

通过矩阵相乘的方式，可以大大降低编码复杂度和计算的时间。

编码

4 注意

4.1 相乘的位置不能互换

A × B ≠ B × A

例如前面这个图：

矩阵乘以矩阵

如果将顺序换过来，完全就不能满足规则：左边矩阵的列数，要和右边矩阵的行数相同。

矩阵B是 2 × 2 ，矩阵A是 3 × 2 。

4.2 相乘的次序不影响结果

( A × B ) × C = A × ( B × C )

4.3 单位矩阵

单位矩阵，在左上到右下的对角线上元素都是1，例如一个 3 × 3的矩阵：

别的矩阵和单位矩阵相乘，得到的结果就是其自身：A × I = A

4.4 逆矩阵

逆矩阵就是使得与矩阵相乘得到的结果，是一个单位矩阵的矩阵，例如

A × A-1 = I

那么我们就说A-1是A的逆矩阵。

4.5 转置矩阵

转置矩阵其实是原来矩阵的行变成了新矩阵的列，以一个90°的角度进行了旋转。下面两个图就是矩阵A和它的转置矩阵AT。

A的转置矩阵

文章提前发布在**：止一之路